Реклама
Реклама
Реклама

пляшка Клейна

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Пляшка Клейна (або Кляйна) - неоріентіруемая (одностороння) поверхню , Вперше описана в 1882 році німецьким математиком Ф. Клейном . Вона тісно пов'язана з стрічкою Мебіуса і проективної площиною . Назва, очевидно, походить від схожості написання слів ньому. Fläche (поверхню) і ньому. Flasche (пляшка).

Перший опис пляшки Клейна з'явилося в монографії Ф. Клейна «Про теорії Рімана алгебраїчних функцій і їх інтегралів», що вийшла в 1882 році. У ній Клейн так описує цю поверхню [1] [2] :

Щоб побудувати модель пляшки Клейна, знадобиться пляшка з двома додатковими отворами: в денці і в стінці. Шийка пляшки потрібно витягнути, зігнути вниз і, протягнувши його через отвір в стінці, приєднати до отвору на дні пляшки. Для справжньої пляшки Клейна в чотиривимірному просторі отвір в стіні не потрібно, але без нього не можна обійтися в тривимірному евклідовому просторі .

На відміну від звичайного склянки, у цього об'єкта немає "краю", де б поверхню різко закінчувалася. На відміну від повітряної кулі, можна пройти шлях зсередини назовні, не перетинаючи поверхню (тобто насправді у цього об'єкта немає «всередині» і немає «зовні»).

Більш формально, пляшку Клейна можна отримати склеюванням квадрата [0, 1] × [0, 1] {\ displaystyle [0,1] \ times [0,1]} Більш формально, пляшку Клейна можна отримати склеюванням квадрата [0, 1] × [0, 1] {\ displaystyle [0,1] \ times [0,1]} , Ототожнюючи точки (0, y) ~ (1, y) {\ displaystyle (0, y) \ sim (1, y)} при 0 ⩽ y ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant y \ leqslant 1} і (x, 0) ~ (1 - x, 1) {\ displaystyle (x, 0) \ sim (1-x, 1)} при 0 ⩽ x ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant 1} , Як показано на першій діаграмі , Ототожнюючи точки (0, y) ~ (1, y) {\ displaystyle (0, y) \ sim (1, y)} при 0 ⩽ y ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant y \ leqslant 1} і (x, 0) ~ (1 - x, 1) {\ displaystyle (x, 0) \ sim (1-x, 1)} при 0 ⩽ x ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant 1} , Як показано на першій діаграмі. Наступні діаграми показують як ця топологія занурюється в темно-зелену форму 3D.

Якщо розрізати пляшку Клейна навпіл уздовж її осі симетрії , То результатом буде стрічка Мебіуса, зображена праворуч (необхідно пам'ятати, що зображеного перетину насправді немає).

Пляшка Клейна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

x = (r + cos ⁡ u 2 sin ⁡ v - sin ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v) cos ⁡ u {\ displaystyle x = \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ cos u} x = (r + cos ⁡ u 2 sin ⁡ v - sin ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v) cos ⁡ u {\ displaystyle x = \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ cos u} y = (r + cos ⁡ u 2 sin ⁡ v - sin ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v) sin ⁡ u {\ displaystyle y = \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u} z = sin ⁡ u 2 sin ⁡ v + cos ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v {\ displaystyle z = \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v} y = (r + cos ⁡ u 2 sin ⁡ v - sin ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v) sin ⁡ u {\ displaystyle y = \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u} z = sin ⁡ u 2 sin ⁡ v + cos ⁡ u 2 sin ⁡ 2 v {\ displaystyle z = \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v}

У цьому виді самоперетинів має форму геометричного кола в площині XY. Константа r {\ displaystyle r} У цьому виді самоперетинів має форму геометричного кола в площині XY дорівнює радіусу кола. Параметр u {\ displaystyle u} задає кут на площині XY і v {\ displaystyle v} позначає положення близько 8-образного перетину.