чайник Клейна

1. побудова
2. 1 спосіб
3. 2 спосіб
4. Історія назви
5. застосування
7. Алгебраїчний підхід. Визначення, формули побудови
8. Ілюстрація розрізання.
9. висновок

Сьогоднішній пост буде присвячений пляшці Клейна . Цей об'єкт тісно пов'язаний з листом Мебіуса , Про який вже говорилося раніше, і з назвою цього блогу :)

побудова

По суті ж, пляшка Клейна дуже проста річ (знову ж таки, якщо визначати її нативної).

1 спосіб

Візьмемо квадрат і пофарбуємо його протилежні сторони так, як показано на малюнку 1, задавши при цьому напрямок проходження цих сторін. Тепер склеим протилежні сторони так як показано на малюнку, щоб колір і напрямки стрілок при склеюванні збігалися. Спочатку червоні, потім зелені. Після ототожнення червоних точок отримаємо циліндр. З зеленими буде хитріше, враховуючи що напрямок має збігатися.

Зауваження: спробуйте уявити це собі, перш ніж вивчати малюнок нижче.

Фіолетовим відзначена смуга, яка в кінці стане листом Мебіуса, а початкова поверхня пофарбована в білий колір зовні і в зелений всередині.

2 спосіб

Зазначу відразу, що результат другого способу нічим не відрізняється від першого. Різниця тільки в тому, як легше представляти процес і результат.


Склеїмо тепер спочатку зелені краю. Отримаємо вже відому стрічку Мебіуса. А тепер червоні. Краї стрічки склеїти в трубочку. Вийде поверхню без краю (це властивість, втім, не є характерним. Наприклад сфера, куб, тетраедр і інші правильні багатогранники краю не мають, а мають лише поверхню).

Однак є одне але, яке сильно впливає на властивості пляшки Клейна. Отриманий об'єкт не повинен мати самоперетинів. Якщо ви спробуєте виконати описані перетворення вручну, то щоб все склеїти правильно доведеться зробити проріз (як це видно на всіх наведених об'єктах). Однак в самій пляшці Клейна такий прорізи бути не повинно. Її і немає в чотиривимірному просторі (\ (\ mathbb {R} ^ 4 \)), куди, по суті, і вкладається пляшка Клейна. В \ (\ mathbb {R} ^ 3 \) без самоперетинів вона бути поміщена не може. Тому всі приклади і реалізації пляшки в реальному житті - це лише її проекції в наше тривимірний простір. Як це розуміти? Згадайте лист Мебіуса. По-суті ж це шматок площині, тобто двомірний об'єкт, просто певним чином склеєний. Кільце, наприклад, спокійно проектується на площину. Однак після склейки листа Мебіуса вже неможливо укласти в площину (\ (\ mathbb {R} ^ 2 \)) і без самоперетинів він існує тільки в \ (\ mathbb {R} ^ 3 \).

Зауваження: спробуйте :) допускаються будь-які розтягування і стиснення. все крім додавання або видалення вже існуючих дірок.

Те ж відбувається і з пляшкою Клейна. Вона є тривимірний об'єкт, який в \ (\ mathbb {R} ^ 3 \) бути вкладений не може. Тому все що ми бачимо - лише проекція справжньою пляшки Клейна.

Історія назви

Початкове назву пляшки Клейна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхню) поверхню Клейна. Але слово Fläche було спотворено в процесі популяризації та стало читатися як Fla-s-che (пляшка) через переважання англійської мови і міцно утвердилася в математичній науці. Пізніше термін "пляшка Клейна" також став використовуватися і в Німеччині.

застосування

Чесно кажучи, я поняnія не маю якесь застосування може бути у пляшки Клейна :) Те, що я бачив або читав, швидше за стилізація під щось або просто міфічні ідеї. Наприклад кажуть що алхіміки дуже жадали такої посудину, у якого не було б нутрощі і зовнішності (пляшка Клейна якраз має таку властивість).

• Відкривачки пляшок:

• Cумки (навіть шапки бувають ^^ "" ""):

Зауваження: як бачите, чайник цей не цілком пляшка Клейна, але не складно довести його до потрібного стану) Так і у нас тут - я навряд чи зможу абсолютно все розповісти, але я постараюся зробити так, щоб при належному інтерес це було не складно досліджувати самим :)

До речі кажучи, процес видування таких скляних пляшок - вкрай трудомісткий і тільки склодуви високого класу можуть це зробити (тому що потрібно залишати дірочку в поверхні. Зрозуміло, що живи ми в \ (\ mathbb {R} ^ 4 \) ніяких би проблем не було )

Алгебраїчний підхід. Визначення, формули побудови

визначення

- це неоріентіруемая поверхню , Певна правилами склейки зазначеними вище (тобто двовимірне різноманіття ).
Зауважу, що згинати пляшку можна як завгодно. Від цього вона, як і лист Мебіуса, своїх характерних властивостей не втратить. Тому вона, в принципі, абсолютно не зобов'язана виглядати як пляшка. Наприклад малюнок справа теж представляє собою пляшку Клейна (такою форму називають вісімка) і задається вона системою параметричних рівнянь:

\ (\ Begin {cases} x (r, \ alpha, \ beta) = & \ left (r + \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {\ beta} - \ sin {\ frac { \ alpha} {2}} \ sin {2 \ beta} \ right) \ cos {\ alpha} \\ y (r, \ alpha, \ beta) = & \ left (r + \ cos {\ frac {\ alpha } {2}} \ sin {\ beta} - \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {2 \ beta} \ right) \ sin {\ alpha} \\ z (r, \ alpha, \ beta) = & \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {\ beta} + \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {2 \ beta} \ end {cases} \)

де \ (0 \ le \ alpha <2 \ pi \), \ (0 \ le \ beta <2 \ pi \) і \ (0 \ le r \ le 1 \) - сферичні координати

Чи неявним рівнянням виду \ ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2y-1) ({(x ^ 2 + y ^ 2-2y-1)} ^ 2 - 8z ^ 2) + 16xz (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2y-1) = 0 \).

Знову ж таки, можете побудувати його в WolframAlpha , Але на цей раз досить просто набити в пошуковику " klein bottle "

Зауваження: я не збираюся приводити тут систему рівнянь задану пляшку Клейна такою, якою ми її звикли бачити на увазі її громіздкість.

А ще там же ви можете знайти багато додатків, в яких можна повертати і помучити :)

Ілюстрація розрізання.

Ще один спосіб розшматувати пляшку на що-небудь цікаве:

Тут пляшка Клейна розрізається на два дзеркальних один одному листа Мебіуса (тобто один перекручений направо, а інший ліворуч. Як ви думаєте, перекладається чи один в інший?) Між листами вклеєна звичайна стрічка (кільце), зовнішня частина якого пофарбована в білий , а внутрішня в блакитний. Взагалі можна розрізати пляшку Клейна так, щоб отримати один лист Мебіуса, але про це ви вже знаєте (потрібно просто різати так само як склеювали в другому випадку)

висновок

По суті, пляшка Клейна здається не дуже-то серйозним об'єктом. Ну склеїли краю стрічки, ну молодці, користі-то ніякої. По-правді від всього є користь. Зокрема, склеюючи односторонню стрічку Мебіуса ми все ще отримуємо односторонню неоріентіруемую поверхню. А що буде якщо і ще склеїти? це вже нашому розумію не піддається, тому як представляти це потрібно в чотиривимірному просторі. А що якщо склеювати не протилежні точки краю стрічки Мебіуса, а навхрест лежачі?
І нарешті, що буде якщо склеювати НЕ стрічку Мебіуса і не кільце а, скажімо, звичайний коло?

Зауваження: подумайте над відповіддю на це питання в двох випадках:

1. всі точки краю склеим в одну. отримаємо сферу
2. діаметрально протилежні точки краю склеюються між собою.

Так ось в останньому випадку виходить проективне простір. А це вже - ціла тема для майбутніх постів)

посилання